Bonjour, je suis en seconde J'aurais besoin d'aide pour cet exercice voici l'énoncé: Déterminer la fonction affine f telle que: (f(0) - f(1)) (f(0)+f(1)) = 0 et

Réponse: Bonjour,

Puisque f est une fonction affine, son équation est f(x)=ax+b, avec a et b des nombres réels.

On a:

[tex](f(0)-f(1))(f(0)+f(1))=0\\(a \times 0+b-(a \times 1+b))(a \times 0+b+a \times 1+b)=0\\(b-a-b)(b+a+b)=0\\-a(a+2b)=0\\-a=0 \quad ou \quad a+2b=0\\a=0 \quad ou \quad a=-2b[/tex].

Et:

[tex]f(0)+f(1)=6\\a \times 0+b+a \times 1+b=6\\2b+a=6[/tex].

D'après la première équation a=0, donc :

[tex]2b=6\\b=3[/tex].

Donc f(x)=3

En utilisant l'autre égalité de la première équation a=-2b, on a:

[tex]2b-2b=6\\0=6 \quad Absurde[/tex].

Donc la seule fonction affine qui vérifie les deux équation est la fonction constante égale à 3, f(x)=3.

Toute fonction affine est de la forme f(x) = ax + b

1)  f(0) = b   ;  f(1) = a + b

f(0) - f(1) = b - a - b = -a    ;     f(0) + f(1) = a + 2b

2) f'(0) + f(1) = 6

d'où le système :

-a(a + 2b) = 0     et    a + 2b = 6

<=>

(a = 0 ou a + 2b = 0)   et    a + 2b = 6

<=>   (on distribue le et sur le ou)

(a = 0  et a + 2b = 6)  ou  (a + 2b = 0 et a + 2b= 6)

             (1)                                          (2)

le système (2) n'a pas de solution, a + 2b ne peut être égal en même temps à 0 et à 6

le système (1) a pour solution a= 0 et b = 3

la réponse : f(x) = 0x + 3   soit f(x) = 3