Bonsoir, Pouvez vous m'aidé svp : Tm est l'ensemble de points m(x;y) tels que : x^2+y^2-2mx-4y-5m=0. * Determiner l'ensemble T-1 (c'est a dire Tm lorsque m=-1)

x² + y²- 2mx - 4y - 5m = 0.  (1)

(1) <=> x² -2mx + y² - 4y -5m = 0

   <=> (x² - 2mx + m²) - m² +( y² - 4y + 4) - 4 - 5m = 0

   <=>  (x - m)² + (y - 2)² = m² + 5m + 4

1) si m =-1

(1) devient (x + 1 )² + (y - 2)² = 0

l'ensemble des points vérifiant (1) pour m = -1 est le seul point A(-1 ; 2)

2)  (x - m)² + (y - 2)² = m² + 5m + 4

est l'équation d'un cercle si et seulement si le second membre est strictement positif.

m² + 5m + 4 = 0 a deux racines  ( ∆ = 9   racines -1 et -4)

(x - m)² + (y - 2)² =  (m + 1)(m + 4)

(m + 1)(m +4) est positif pour les valeurs extérieures aux racines

réponse

m ⋲ ] - ∞  ; - 4 [ U ] -1 ; + ∞ [

Réponse :

Tm est l'ensemble de points m(x ; y) tels que : x² + y² - 2 mx - 4 y - 5 m = 0

⇔ x² - 2 mx + m² - m² + y² - 4 y + 4 - 4 - 5 m = 0

⇔ (x - m)² + (y - 2)² =  m² + 5 m + 4

1) déterminer l'ensemble T-1  (m = - 1)

    (x + 1)² + (y - 2)² = 1 - 5 + 4 = 0   ⇒ R = 0  donc T-1 n'est pas l'équation d'un cercle

2) pour quelles valeurs de m, Tm est-il un cercle; justifier la réponse

pour que Tm soit un cercle il faut que R² ≠ 0

⇔R² = m² + 5 m + 4  ⇒ R = √(m²+ 5 m + 4)  ⇔ m²+ 5 m + 4 > 0

⇔ (m+1)(m+4) > 0

m       - ∞                      - 4                       - 1                            + ∞

m+1                  -                             -           0              +

m+4                 -              0             +                           +

P                      +                             -                            +

m ∈ ]-∞ ; - 4[U]-1 ; + ∞ [     ⇔ m < - 4   ou  m > - 1

Tm est un cercle  

Explications étape par étape