bonsoir les amis, s'il vous plait si vous pouvez m'aider à résoudre cette question c'est vraiment très important pour moi. merci d'avance question: montrer que

Réponse :

Un nombre pair est un multiple de 2, et l'entier qui le suit directement est impair par définition.

Donc, tout entier n pair peut s'écrire sous la forme n = 2q, et tout entier n impair peut s'écrire sous la forme n = 2q + 1, .

Il faut donc exprimer A et B sous la forme 2q + 1

Explications étape par étape

Pour A :

Cas où n est pair :

A = (2q)²+ 13(2q) + 17

  = 4q² + 26q + (2x8) + 1

A = 2(2q²+13q + 8) + 1

Cas où n est impair :

A = (2q + 1)² + 13 (2q+1) + 17

  = 4q² + 4q + 1 + 26q + 13 + 17

  = 4q² + 30q + 20 + 1

A = 2 (2q²+ 15q + 10) + 1

A s'écrit sous la forme 2q + 1 pour tout n appartenant à N, A est donc impair.

Pour B :

Cas où n est pair :

B = [tex](2q)^{3}[/tex] - 2q + 1

  = [tex]8[/tex][tex]q^{3}[/tex]  - 2q + 1

B = 2([tex]4[/tex][tex]q^{3}[/tex]  - q) + 1

Cas où n est impair :

B = [tex](2q + 1)^{3}[/tex]  - (2q + 1) + 1

  = (2q + 1)(4q²+4q+1) - 2q

  = [tex]8[/tex][tex]q^{3}[/tex] + 8q² + 2q + 4q² + 4q + 1 - 2q

  = [tex]8[/tex][tex]q^{3}[/tex] + 12 q² + 4q + 1

B = 2([tex]4[/tex][tex]q^{3}[/tex] + 6q² + 2q) + 1

B s'écrit sous la forme 2q + 1 pour tout n appartenant à N, B est donc impair.

B = n³ - n + 1

n³ - n + 1 = n(n² - 1) + 1

             = n ( n - 1) (n + 1) + 1

             = (n -1) n (n + 1) + 1

n - 1, n et n + 1 sont trois entiers consécutifs, l'un d'eux au moins est pair et leur produit est pair

on a donc B = nombre pair + 1  =>  B est impair  

A = n² + 13n+ 17

n² + 13n+ 17 = n² + n + 12n + 17

                      n² + n + 12n + 12 + 5

                      n(n + 1) + 12(n + 1) + 5

                      (n + 1)(n + 12) + 5

si n est pair n + 12 est pair, le produit (n + 1)(n + 12) est pair et la somme

��                                                            (n +1 )(n + 12) + 5 est impaire

si n est impair (n + 1) est pair, le produit (n + 1)(n + 12) est pair  et la somme

                                                             (n +1 )(n + 12) + 5 est impaire

A = nombre pair + 5 = nombre impair