Bonjours est ce que quelqu’un pourrait m’aider à répondre à cet exercice Nos mathématiques classiques sont appelées « décimale » : tous les nombres peuvent être
Question
Nos mathématiques classiques sont appelées « décimale » : tous les nombres peuvent être écrits avec 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ( soit 10 chiffres ) et décomposés en puissances de 10. En mathématiques binaires, tous les nombres peuvent être écrits avec 0 et 1 uniquement ( 2 chiffres ) et décomposés en puissances de 2.
Par exemple 19 se décompose en
• 1*16 + 0*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1
• soit 1*2 exposant 4 + 0*2 exposant 3 + 0* 2 exposant 2 + 1*2 exposant 1 + 1*2 exposant 0
Il s’ecrit alors en binaire 10 011.
1) Quel nombre en écritures décimale s’écrit 101 001 ? Justifie.
2) Comment écrit on en binaire 2019 ? Justifie.
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1) 10011 en binaire
= 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰
= 16 + 0 + 0 + 2 + 1
= 19
2) 2019 en décimal
2019
= 2*1009 + 1
= 2*(2*504 + 1) + 1
= 2*2*2*252 + 2 + 1
= 2*2*2*2*126 + 2 + 1
= 2*2*2*2*2*63 + 2 + 1
= 2*2*2*2*2*(2*31 + 1) + 2 + 1
= 2*2*2*2*2*2*31 + 2*2*2*2*2 + 2 + 1
= 2*2*2*2*2*2*(2*15 + 1) + 2⁵ + 2 + 1
= 2*2*2*2*2*2*2*15 + 2*2*2*2*2*2 + 2⁵ + 2 + 1
= 2*2*2*2*2*2*2*(2*7 + 1) + 2⁶ + 2⁵ + 2 + 1
= 2*2*2*2*2*2*2*2*7 + 2*2*2*2*2*2*2 + 2⁶ + 2⁵ + 2 + 1
= 2*2*2*2*2*2*2*2*(2*3 + 1) + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2 + 1
= 2*2*2*2*2*2*2*2*2*3 + 2*2*2*2*2*2*2*2 + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2 + 1
= 2*2*2*2*2*2*2*2*2*(2 + 1) + 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2 + 1
= 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 + 2*2*2*2*2*2*2*2*2 + 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2 + 1
= 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2 + 1
= 1*2¹⁰ + 1*2⁹ + 1*2⁸ + 1*2⁷ + 1*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2¹ + 1*2⁰
Donc s'écrit en binaire : 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1
Bien sur on peut aller plus vite en divisant par les puissances de 2 en partant de la plus grande possible :
1, 2, 4, 8, 16, 32 ,64 ,128 ,256, 512, 1024, 2048,...
2019 = 1*1024 + 995 donc 1*2¹⁰
995 = 1*512 + 483 donc 1*2⁹
483 = 1*256 + 227 donc 1*2⁸
227 = 1*128 + 99 donc 1*2⁷
99 = 1*64 + 35 donc 1*2⁶
35 = 1*32 + 3 donc 1*2⁵
3 = 1*2 + 1 donc 1*2¹ + 2⁰