Bonsoir, j'ai un DM pour demain et j'ai besoin d'aide, pouvez vous m'aider svp? Voilà le DM: Soit A(1;4), B(6;2) et C(2;0). On note D, E et F les milieux respec

Réponse :

1) démontrer que les coordonnées de D sont (7/2 ; 3)

D(x ; y)  milieu de (AB) ⇒ x = (xb + xa)/2 = (6+1)/2 = 7/2

                                       y = (yb + ya)/2 = (2+4)/2 = 6/2 = 3

⇒ donc les coordonnées de D sont (7/2 ; 3)

2) déterminer les équations des trois médianes du triangle ABC

La médiane CD a pour équation y = a x + b

a : coefficient directeur = Δy/Δx = (3 - 0)/(7/2-2) = 3/3/2 = 2

y = 2 x + b

0 = 2*2 + b ⇒ b = - 4

l'équation de la médiane (CD) est : y = 2 x - 4

l'équation de la médiane (AE) est : y = a x + b

a = (1 - 4)/(4 - 1) = - 3/3 = - 1

y = - x + b

1 = - 4 + b ⇒ b = 5

L'équation de la médiane (AE) est : y = - x + 5

L'équation de la médiane (BF) est : y = a x + b

a = (2 - 2)/(3/2 - 6) = 0

L'équation de la médiane (BF) est : y = 2

3) on note I le point d'intersection des droites (AE) et (BF)

   a) déterminer par le calcul les coordonnées du point I

(AE) : y = - x + 5

(BF) : y = 2

- x + 5 = 2 ⇒ x = 5 - 2 = 3

les coordonnées du point d'intersection I sont : (3 ; 2)

b) vérifier graphiquement la question précédente

après avoir placer tous les points dans le repère orthonormé, et le triangle ABC on constate

que le point I de concours de (AE) et (BF) ont pour coordonnées (3 ; 2)  

4) en déduire que ces trois médianes sont concourantes

puisque (AE) et (BF) ont pour point d'intersection  I(3 ; 2)

on cherche les coordonnées du point d'intersection de (CD) et (BF)

(CD) : y = 2 x - 4

(BF) : y = 2

2 x - 4 = 2 ⇔ 2 x = 6 ⇒ x = 6/2 = 3

Donc le point d'intersection de (CD) et (BF) a pour coordonnées (3 ; 2)

les médianes (AE) ; ( CD) et (BF) passent par le point I(3; 2) donc les trois médianes sont concourantes  

Explications étape par étape