bonjour à tous et toutes, pouvez vous m'aider s'il vous plaît, je ne sais plus comment faire pour étudier la monotonie de ces suites: merci d'avance terminale S

Réponse : Bonsoir,

a) [tex]U_{n+1}-U_{n}=\frac{2(n+1)+1}{n+4}-\frac{2n+1}{n+3}= \frac{2n+2+1-2n-1}{(n+4)(n+3)}=\frac{2}{(n+4)(n+3)}[/tex].

Le numérateur est positif, et le dénominateur est positif car n+4 >0, n+3>0, car n est un entier naturel.

Donc pour tout entier naturel n, [tex]U_{n+1}-U_{n} \geq 0[/tex], on en déduit que la suite [tex](U_{n})[/tex] est croissante.

b) [tex]\frac{V_{n+1}}{V_{n}}=\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}} \times \frac{3^{n}}{2^{n+2}}=\frac{1}{3 \times 2}=\frac{1}{6}[/tex].

On constate que [tex]V_{n} \geq 0[/tex] pour tout n entier naturel, puis d'après ce qui précède [tex]V_{n}<1[/tex], d'où [tex]0 \leq \frac{V_{n+1}}{V_{n}} <1[/tex], on en déduit que pour tout n entier naturel [tex]V_{n+1} \leq V_{n}[/tex], donc la suite [tex](V_{n})[/tex] est décroissante.

c) [tex]W_{n+1}=W_{n}-5[/tex], pour tout n entier naturel, donc la suite [tex](W_{n})[/tex], est arithmétique de raison -5.

Donc une expression de [tex]W_{n}[/tex] en fonction de n est [tex]W_{n}=W_{0}+n \times (-5)=6-5n[/tex].

On calcule maintenant [tex]W_{n+1}-W_{n}[/tex]:

[tex]W_{n+1}-W_{n}=6-5(n+1)-(6-5n)=6-5n-5-6+5n=-5 < 0[/tex].

Donc pour tout entier naturel n, [tex]W_{n+1}-W_{n} < 0[/tex], on en déduit que la suite [tex](W_{n})[/tex] est décroissante.

d) [tex]T_{n+1}-T_{n}=n+1 > 0[/tex], car n entier naturel, donc la suite [tex](T_{n})[/tex] est croissante.