Bonjour pouvez vous m aider je ne comprend pas cette exercice. Soit p un entier naturel . On veut démontrer que P et pair si seulement si son carré est p

On veut démontrer que P et pair si et seulement si son carré est pair .

1) partie directe

hypothèse : p est pair

il peut s'écrire p = 2k      k étant un naturel

on a alors p² = (2k)² = 4 k² = 2 (2k²)

conclusion : p² est pair

2) réciproque

hypothèse : p² est pair

on veut aboutir à la conclusion : p est pair

raisonnement "dit par l'absurde"

p ne peut être que pair ou impair

supposons que p soit impair

il s'écrit p = 2k + 1 et son carré p² = (2k + 1)²

                                                   p² = 4k² + 4k + 1

                                                   p² = 2(2k² + 2k) + 1

                                                   p² = nombre pair + 1 = nombre impair

on vient de montrer que si p est impair alors p² est impair. Ceci est en contradiction avec l'hypothèse "p² pair"

p n'est donc pas impair

la seule autre solution possible est "p est pair"

Conclusion : p est pair

on a démontré

                       p pair    =>    p² pair

                       p² pair  =>     p pair

                                d'où

                        p pair <=>  p² pair