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Question

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J). On considère les points A(–2 ; 0), B(2 ; 0) et C'((2√5)/5 ; ((4√5)/5) Les points C et D sont tels que ABCD est un carré et W est un demi-cercle de diamètre [AB] (comme indiqué sur la figure ci-dessous).

1.
a. Montrer que le point C’ appartient à la droite (OC).
b. Calculer OC’.
c. En déduire que C’est l’intersection de (OC) et de W.

2. On considère l’homothétie h de centre O qui transforme C en C’.

a. Quel est le rapport de l’homothétie h ?
b. Déterminer les coordonnées de D’ = h (D). Montrer que D’ appartient à W.
c. Déterminer les coordonnées de A’ = h (A) et de B’ = h (B).
d. Montrer que A’B’C’D’ est un carré.

3. Un triangle équilatéral IJK étant donné et en s’inspirant, éventuellement des questions précédentes, construire un carré ABCD inscrit dans le triangle, c’est-à-dire tel que : A, B appartiennent à [IJ], C appartient à [JK] et D appartient à [IK].

(On donnera les différentes étapes de la construction et on démontrera que le quadrilatère ainsi construit répond bien au problème posé.)
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J). On considère les points A(–2 ; 0), B(2 ; 0) et C'((2√5)/5 ; ((4√5)/5) Les points C et D sont tels que A

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1 Réponse

  • 1)

    a) On relie la droite OC à la fonction f(x) tel que :

    f(0) = 0    (c'est les coordonnées du point 0),

    f(x) est une fonction linéaire donc f(x) = ax

    f([2√5]/5) = (4√5)/5  (c'est les coordonnées du point C)

    f([2√5]/5) = [(2√5)/5]a = (4√5)/5 ⇔ a = [(4√5)/5] / [(2√5)/5]

    a = 2

    Pour que C' appartient à la droite il faut que :

    f(XC') = YC'

    f([2√5]/5) = 2 x [2√5]/5 = (4√5)/5

    C' appartient à la droite OC.

    b) Soit le vecteur OC'

    [tex]\left[\begin{array}{ccc}XC'-XO\\YC' -YO\end{array}\right]  = \left[\begin{array}{ccc} \frac{2\sqrt{5} }{5}  - 0 \\\frac{4\sqrt{5} }{5}  -0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{2\sqrt{5} }{5}  \\\frac{4\sqrt{5} }{5} \end{array}\right][/tex]

    Sa longueur vaut [tex]\sqrt{(XC')^{2}+(YC')^{2}} =  \sqrt{(\frac{2\sqrt{5} }{5})^{2} + (\frac{4\sqrt{5} }{5})^{2}} = 2[/tex]

    c) Le vecteur OB

    [tex]\left[\begin{array}{ccc}XB-XO\\YB -YO\end{array}\right]  = \left[\begin{array}{ccc} 2  - 0 \\0  -0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 2}  \\0 \end{array}\right][/tex]

    La longueur OB vaut [tex]\sqrt{(XOB)^{2}+(YOB)^{2}} =  \sqrt{(2)^{2} + (0)^{2}} = 2[/tex]

    OB est de même longueur que OC’. Les deux longueurs partent de O, donc ils sont tout deux des rayons du demie-cercles W

    2)

    a)

    ABCD est un carré et on a A(-2 ; 0) et B(2 , 0)

    Le coté AB fait 4 d’abscisse.

    On conclue que D (-2; 4) et C (2; 4)

    L'homothétie fait que C ⇒ C' donc 2 ⇒ 2√5/5 ⇔ 2*√5/5

    et 4 ⇒ 4√5/5 ⇔ 4*√5/5

    Le rapport de l'homothétie h est de √5/5

    b)

    On applique le rapport au coordonné de D ;

    D (-2; 4) ⇒ D' (-2√5/5 ; 4√5/5)

    Si D' appartient au cercle C alors D'O a la même longueur que AO

    Le vecteur AO(2,0) a pour longueur [tex]\sqrt{2^{2}+0^{2}}[/tex] soit 2

    Le vecteur D'O(2√5/5 ; -4√5/5) a pour longueur [tex]\sqrt{(2\sqrt{5}/5)^{2}+ (-4\sqrt{5}/5)^{2}}[/tex] soit aussi 2.

    Donc D'O appartient a C demie-cercle.

    c)

    A (-2 ; 0) ⇒ A' (-2√5/5 ; 0)

    B (2 ; 0) ⇒ B' (2√5/5 ; 0)

    d)

    Calcule des diagonales A'C' et D'B' :

    Formule vecteur AB ( XB -XA ; YB -YA)

    Vecteur A'C' (2√5/5 - [-2√5/5] ;  4√5/5 - 0)

    De même pour D'B' : ...

    A'C' = D'B' = [tex]\sqrt{(4\sqrt{5}/5)^{2}+(4\sqrt{5}/5)^{2}} = \frac{4\sqrt{10} }{5}[/tex]

    A'C' et D'B' ont la même longueur donc A'B'C'D est un rectangle.

    On calcule le milieu de  A'C' et de D'B' :

    Xk = [tex]\frac{XA' + XC'}{2} = \frac{XD' + XB'}{2} = 0[/tex]

    Yk = [tex]\frac{YA' + YC'}{2} = \frac{YD' + YB'}{2} = 2\sqrt{5}/5[/tex]

    A'C' et D'B' ont la même longueur et se coupent en leur milieu donc A'B'C'D' est un carré.

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