Bonjour, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Montrer ∀n ∈ N∗, 1³ + 2³ + ∙ ∙ ∙ + n³ = ([tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex])² (par récurrence si possible)

Réponse : Bonsoir,

Initialisation: n=1.

[tex](\frac{1(1+1)}{2})^{2}=(\frac{2}{2})^{2}=1=1^{3}[/tex].

La propriété est donc vérifiée à l'ordre n=1.

Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, et montrons là à l'ordre n+1.

Par l'hypothèse de récurrence: [tex]1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}[/tex], donc:

[tex]1^{3}+2^{3}+...+(n+1)^{3}=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}+(n+1)^{3}\\Or \;(\frac{n(n+1)}{2})^{2}+(n+1)^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}+4(n+1)^{3}}{4}=\frac{(n+1)^{2}(n^{2}+4(n+1))}{4}\\=\frac{(n+1)^{2}(n^{2}+4n+4)}{4}=\frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4}=(\frac{(n+1)(n+2)}{2})^{2}[/tex].

Donc:

[tex]1^{3}+2^{3}+...+(n+1)^{3}=(\frac{(n+1)(n+2)}{2})^{2}[/tex].

La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout n entier naturel:

[tex]1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}[/tex].

Réponse :

Montrer  quel que soit n ∈ N*

1³ + 2³ + ... + n³ = (n(n+1)/2)²

soit Un = 1³ + 2³ + ... + n³ = (n(n+1)/2)²

on utilise le raisonnement par récurrence

1) Initialisation : vérifier que P(1) est vraie  ; 1³+2³+...+1³ = 1 = (1(1+1)/2)² = 1

Donc P(1) est vraie au rang 1

2) Hérédité : supposons que P(n) est vraie au rang n > 0

   donc  1³ + 2³ + ... + n³ = (n(n+1)/2)²  et montrons que P(n+1) est vraie aussi

1³ + 2³ + .... + n³ + (n+1)³ = [(n+1)(n+2)/4]²

or 1³ + 2³ + .... + n³ =(n(n+1)/2)²

(n(n+1)/2)²+ (n+1)³ = (n+1)²(n²/4 + n + 1) = (n+1)²(n² + 4 n + 4)/4

= (n+1)²(n+2)²/4 = ((n+1)(n+2)/2)²

donc (Pn+1) est vraie

3) conclusion :  P(1) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n > 0. Par récurrence Pn) est vraie

Explications étape par étape