bonsoir aidé moi sur cette question

Réponse :

U₀ = 1

Un+1 = Un - ln(1+Un)   pour tout entier naturel n

1) calculer une valeur approchée à 10⁻³ près de U₂

U₁ = U₀ - ln(1+U₀) = 1 - ln(1+1) = 1 - ln(2) = 1 - 0.693 = 0.307

U₂ = U₁ - ln(1 + U₁) = 0.307 - ln(1.307) = 0.307 - 0.268 = 0.039

2) a) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un ≥ 0

Initialisation :  P(0) est vraie car U₀ = 1 ≥ 0

héridité : supposons que pour tout n  P(n) est vraie ⇒ Un ≥ 0

et montrons que P(n+1) est vraie aussi

sachant que Un+1 = f(Un) ⇔ f(x) = x - ln(1 + x) ⇒ f est croissante sur [0 ; + ∞[

donc f(Un) ≥ f(0)

Un+1 = f(Un) ≥  f(0) = 0  

Un+1 ≥ 0  donc P(n+1) est vraie

Conclusion : P(0) est vraie et P(n) est hériditère  à partir du rang n = 0

Donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier n ≥ 0  

b) démontrer que la suite (Un) est décroissante et en déduire que pour tout entier naturel n , Un ≤ 1

pour tout entier naturel n ≥ 0   Un+1 = Un - ln(1+Un)

Un+1 - Un = Un - ln(1+Un) - Un = - ln(1+Un)

or Un ≥ 0 ⇒ 1 + Un ≥ 1 ⇒ ln(1+Un) ≥ 0

donc Un+1 - Un = - ln(1+Un) ≤ 0 ⇒ Un+1 - Un ≤ 0  donc (Un) est décroissante

en déduire que pour tout n   Un ≤ 1

puisque (Un) est décroissante : on a U₀ = 1 ; U₁ = 0.307 ; U₂ = 0.039

on en déduit que pour tout n ; Un ≤ 1

c) montrer que la suite (Un) est convergente

puisque la suite (Un) est décroissante et elle est minorée par la plus petite valeur qui est 0  donc la suite (Un) est convergente

3) en déduire la valeur de l

on a l = f(l) ⇔ l = l - ln(1+l) ⇔ ln(1+l) = 0 ⇔ ln(1+ l) = ln1 ⇒ 1 + l = 1 ⇒ l = 0      

Explications étape par étape