bonjour aidé moi sur cette question s'il vous plaît on considère la fonction g définie sur [O: + infini] par g(x)= [tex] ln( 1 + x ) - x[/tex] 1) Étudier le se

Réponse : Bonjour,

Pour étudier le sens de variation de g, on calcule la fonction dérivée g':

[tex]g'(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-(1+x)}{1+x}=\frac{1-1-x}{1+x}=\frac{-x}{1+x}[/tex].

On a le tableau suivant:

x           0                                              +∞

-x          Ф                      -

(1+x)                               +

g'(x)       Ф                     -

Donc [tex]g'(x) \leq 0[/tex], pour tout [tex]x \in [0;+\infty[[/tex], donc la fonction g est décroissante sur [tex][0;+\infty[[/tex].

2) Comme g est décroissante sur [tex][0;+\infty[[/tex], on en déduit que pour tout [tex]x \in [0;+\infty[, g(x) \leq g(0)[/tex].

Or [tex]g(0)=\ln(1+0)-0=\ln(1)=0[/tex], d'où [tex]g(x) \leq 0[/tex], pour tout [tex]x \in [0;+\infty[[/tex], et donc:

[tex]g(x) \leq 0\\\ln(1+x)-x \leq 0\\\ln(1+x) \leq x[/tex].

Donc pour tout x positif ou nul, [tex]\ln(1+x) \leq x[/tex], donc pour tout a positif ou nul, [tex]\ln(1+a) \leq a[/tex].                    

g(x) = ln(x + 1) - x

fonction définie sur [0 ; +∞[

calcul de g'(x)

g'(x) = 1/(x + 1) - 1

       = [1 - (x + 1)] / (x + 1)

       = -x / (x + 1)

tableau de variation :

x          0                           +∞

-x         0            -

x + 1     1             +

g'(x)     0             -

g(x)      0            ∖              -∞

la fonction g est décroissante, son maximum est 0

on a donc pour tout x : g(x) ≤ 0

soit : ln(x + 1) - x  ≤ 0

        ln(x + 1)  ≤ x      (rappel   x ⋲ [0 ; +∞ [

donc pour tout a positif ou nul on a ln(a + 1)  ≤ a