Bonjour, j’ai besoin d’aide pour un exo en math Factorisation d’un polynôme du 3e degré : On considère le polynôme P(x) = x^3-7x+6. L’objet de l’exercice est de

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour

Factorisation d’un polynôme du 3e degré :

On considère le polynôme P(x) = x^3-7x+6. L’objet de l’exercice est de le factoriser.

1) montrez que x=1 est une racine de P(x)

P(1) = 1^3 - 7 * 1 + 6

P(1) = 1 - 7 + 6

P(1) = 0

2) on admet alors que P(x) peut se factoriser par (x-1) et que P(x) peut alors s’écrire P(x) = (x-1) * Q(x) où Q(x) est un polynôme du second degré. Ainsi :

P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c) (E)

a) Développer (E) et en déduire Q(x)

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c

P(x) = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c

a = 1

b - a = 0 => b = a = 1

c - b = -7 => c = b - 7 = 1 - 7 = -6

-c = 6 => c = -6

Q(x) = x^2 + x - 6

b) Factoriser Q(x) et en déduire que P(x) = (x-1)(x-2)(x+3).

Q(x) = x^2 + 2 * x * 1/2 + (1/2)^2 - (1/2)^2 - 6

Q(x) = (x + 1/2)^2 - 1/4 - 24/4

Q(x) = (x + 1/2)^2 - 25/4

Q(x) = (x + 1/2)^2 - (5/2)^2

Q(x) = (x + 1/2 - 5/2)(x + 1/2 + 5/2)

Q(x) = (x - 4/2)(x + 6/2)

Q(x) = (x - 2)(x + 3)

P(x) = (x - 1)Q(x)

P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)

c) interprétez graphiquement la question b.

A toi de jouer, mais normalement tu devrais trouver qu’il y a 3 solutions pour de polynômes : 1 ; 2 et -3

P(x) = x³ -7x + 6.

1) P(1) = 1³ -7 + 6 = 0

1 est une racine du polynôme P(x)

2)

P(x) peut s'écrire  sous la forme (x-1)(ax² + bx + c)

pour tout x

x³ -7x + 6 = (x - 1)(ax² + bx + c)

a)

 on développe le second membre

x³ - 7x + 6 = ax³ + bx² + cx - ax² - bx - c

x³ - 7x + 6 = ax³ + (b - a)x² + (c - b)x - c

on identifie les coefficients des termes de même degré

a = 1                    

b - a = 0               b = a = 1

c - b = -7

-c = 6                     c = - 6

Q(x) = x² + x - 6

b)

factoriser Q(x)

on cherche les racines du trinôme x² + x - 6

∆ = 1² - 4(1)(-6) = 25 positif, il y a deux racines

x1 = (-1 + 5) /2 = 2       x2 = (-1 - 5) / 2 = -3

il se factorise en (x - 2)(x + 3)

d'où la factorisation de P(x)

P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)

c)

La représentation graphique de P(x) est une cubique qui va couper l'axe des abscisses en 3 points

A(-3;0)   B(1 ; 0)  et C(2 ; 0)