Bonjour, Ceci est un exercice corrigé, Pourriez-vous me détailler les étapes Merci dans un cercle de rayon r, on inscrit un carré dans lequel on inscrit un cerc
Question
Ceci est un exercice corrigé, Pourriez-vous me détailler les étapes
Merci
dans un cercle de rayon r, on inscrit un carré dans lequel on inscrit un cercle…
Si a est le rayon du cercle donné et c1 le côté du carré inscrit, nous avons, dans le triangle rectangle OAB:
|OA|² = |OB|² + |BA|²
où |OA| = a et |OB| = |BA| c1/2
d'où a²=2*c²1/4 et c1 = aV2 (1)
|OB| est aussi le rayon a2 du 2e cercle , d'où a2 = aV2/2
"les rayons des cercles successifs forment donc une suite géométrique de raison V2/2:
a, aV2/2, a*1/2, a*V2/4" (Comment on arrive là.)
La formule (1) appliquée à a=a2 fournit le côté c2 du 2e carré:
c2 = a2 = a2 * V2 =( aV2)/2*V2 = (aV2)*V2 /2 = c1 * V2/2
ce qui montre que les côtés des carrés successifs forment aussi une suite géométrique de raison V2/2:
a *V2, a, a*V2/2 ,a*1/2...
a) Somme des longueurs des cercles successifs 2pia(2+V2)
b) Somme des aires des carrés successifs: 4a²
Merci aussi de m'expliquer la marche à suivre pour a) et b)
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ rappel :
Somme des n termes d' une suite géom
de terme initial U1 et de raison q
= U1 x (1 - q puissance n) / (1 - q) ♥
■ tableau-résumé des suites de cet exercice :
Rcercle --> a a/√2 a/2 a/(2√2)
Périm Cercle --> 2πa πa√2 πa πa/√2
côté carré --> a√2 a/2 a/(2√2) a/4
Aire carré --> a²/2 a²/4 a²/8 a²/16
■ la suite géométrique des Rayons des cercles
est une suite de terme initial " a "
et de raison q = 1/√2 ≈ 0,7o71 .
Les Périmètres des cercles forment aussi
une suite géométrique de terme initial 2πa
et de raison q = 1/√2 .
La somme de TOUS les Périmètres = 2πa x 1 / (1 - 1/√2)
= 2√2 πa / (√2 - 1)
on multiplie Numérateur et Dénom par (√2 + 1) :
= (4+2√2) πa
= 2(2+√2) πa .
■ la suite géom des côtés des carrés admet
pour terme initial a√2
et pour raison q = 1/√2
donc la suite géom des Aires des carrés
admet pour terme initial (a√2)² = 2a²
et pour raison (1/√2)² = 0,5 .
La somme de toutes les Aires des carrés = 2a² / 0,5 = 4a² .