Salut je dois rendre ce devoir le plus vite possible,Bon,je m'avançais bien dans cet exercice d'Arithmetique mais je me bloque après devant une question , Veuil
Mathématiques
ShawnF
Question
Salut je dois rendre ce devoir le plus vite possible,Bon,je m'avançais bien dans cet exercice d'Arithmetique mais je me bloque après devant une question , Veuillez me prêter votre précieuse aide , Voici les données :
*a∧b=1 (Avec a et b des entiers naturels non nuls differents de 1 )
* (a²+ab+b²)∧(a²+b²)=1
* Soit P un nombre premier tel que p≥5 et P divise (a²+ab+b²)
ET voici la question : Montrer que p∧a=1 ET p∧b=1
Merci bien d'avance
*a∧b=1 (Avec a et b des entiers naturels non nuls differents de 1 )
* (a²+ab+b²)∧(a²+b²)=1
* Soit P un nombre premier tel que p≥5 et P divise (a²+ab+b²)
ET voici la question : Montrer que p∧a=1 ET p∧b=1
Merci bien d'avance
1 Réponse
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1. Réponse ProfdeMaths1
Réponse :
Explications étape par étape
supposons par l'absurde que p ^ a ≠ 1 OU p ^ b ≠ 1
donc il existe un entier d tel d | p et d | a
or p | (a²+ab+b²) et d | a donc d | a² donc d | (a²+ab+b²-a²)
donc d | (ab+b²) donc d |b(a+b)
or a ^ b=1 donc (th de Gauss) d | b et d | a+b
donc d |(a+b)² donc d |((a+b)²-(a²+ab+b²)) donc d | ab
donc d |(a²+ab+b²-ab) donc d |(a²+b²)
ainsi (a²+ab+b²) ^ (a²+b²) = d ≠1
ce qui est impossible par hypothèse car (a²+ab+b²) et (a²+b²) sont premiers entre eux
Ainsi, l'hypothèse initiale est fausse !
soit : (p ^ a = 1) ET ( p ^ b = 1)