Calculez le périmètre d’un triangle isocèle dont le côté mesure 6 cm et la surface 12 cm². Recherche dans le triangle isocèle deux triangles rectangulaires aid

regarde l'image que l'ai mise

Soit H le pied de la hauteur. H est le milieu de [BC]

AB = AC = 6

CH = HC je note cette longueur x

je note la longueur de la hauteur y

1)  

le triangle AHB est rectangle en H

AH = y ; HB = x ; AB = 6

BH² + HA² = BA² (Pythagore)

x² + y² = 36 (1)

2)

aire triangle = (base x hauteur) / 2

l'aire du triangle ABC est : ( BC * AH ) / 2 elle vaut 12

(2x * y) / 2 = xy

xy = 12 (2)

3) je reprends (1( et (2)

x² + y² = 36 (1) et xy = 12 (2)

a)

x² + 2xy + y² = 36 + 2*12

x² + 2xy + y² = 60

(x + y)² = 60

x + y = √60

x + y = 2√15 (3)

b)

x² - 2xy + y² = 36 - 24

(x - y)² = 12

deux cas selon que x est plus grand ou plus petit que y

si  x - y > 0     x - y = √12     x - y = 2√3

si  y - x > 0     y - x = √12     y - x = 2√3

on a deux systèmes à résoudre

I) x + y = 2√15                 II) x + y = 2√15

  x - y = 2√3                       y - x = 2√3

le système I) a pour solution      x = √15  + √3  

                                                     y = √15  - √3  

le système II) a pour solution      x = √15  - √3  

                                                     y = √15  + √3  

il y a donc deux triangles possibles avec ces données

aire = 12 cm² ; AB = AC = 6

si  x = √15  + √3    périmètre 12 + 2√15  + 2√3

si x = √15  - √3     périmètre  12 + 2√15  - 2 √3