Bonjour tout le monde, je suis en 1e S et je ne sais pas comment faire pour un des mes exercices... Dans un repère orthonormal, on considère l'ensemble Г des po

Réponse :

1) prouver que l'ensemble |- est un cercle dont on précisera le centre et le rayon

x²+ y² - 6 x + 2 y - 15 = 0

Cherchons les formes canoniques de x² - 6 x  et y² + 2 y

α = 6/2 = 3

β = f(3) = 3² - 6*3 = 9 - 18 = - 9

(x - 3)² - 9

y²+ 2 y

α = - 2/2 = - 1

β = f(-1) = 1 - 2 = - 1

(y+1)² - 1

L'équation du cercle est : (x - 3)² - 9 +(y + 1)² - 1 - 15 = 0

⇔ (x - 3)² + (y+1)² - 25 = 0 ⇔ (x - 3)²+ (y+ 1) = 25

Le centre du cercle est : (3 ; - 1)  et le rayon  R = 5

2) vérifier par le calcul que le point  A(- 1 ; 2) appartient au cercle

    (- 1 - 3)²+(2 + 1)² = 25

        16 + 9 = 25

            25 = 25

Donc  A ∈ au cercle

3) déterminer une équation de la tangente T au cercle au point A

l'équation de la tangente est : y = m x + p

m : coefficient directeur

les coordonnées du centre du cercle  Ω(3 ; - 1)  et  A(- 1 ; 2)

la droite ΩA est perpendiculaire à la tangente T au point A

Donc  (ΩA) ⊥ (T) ⇒ m = - 1/m1

m1 = (2+1)/(- 1 - 3) = - 3/4  ⇒ m = - 1/-3/4 = 4

y = 4 x + p

2 = - 4 + p ⇒ p = 6

l'équation de la tangente T est : y = 4 x + 6

4) déterminer les points d'intersection du cercle et de l'axe des abscisses

on écrit  y = 0 ⇒ x² - 6 x - 15 = 0

Δ = 36 + 60 = 96 ⇒√96 ≈ 9.8

x1 = 6 + 9.8)/2 = 7.9

x2 = 6 - 9.8)/2 = - 1.9

Explications étape par étape