Bonjour, je suis en 4eme, pouvez-vous m'aider svp : Montrer que les médianes partagent un triangle en 6 triangles de même aire.

Bonjour,

M est le milieu du segment [ BC ]

P est le milieu du segment [ AB ]

N est le milieu du segment [ AC ].

G est le centre de gravité qui permet le partage du triangle ABC en six triangles de même aire.

GP est la médiane de GAB

GN est la médiane de GAC

GM est la médiane de GBC

si l'on t'as donné cet exercice c'est que tu a dû apprendre en classe le théorème:

Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire.

(AMB et AMC ont des bases de même longueur et la même hauteur)

1)

j'appelle ces aires a1, a2, a3, a4, a5, a6

on applique ce théorème aux triangles BGC, CGA et AGB

a1 = a2  ; a3 = a4  ;  a5 = a6

2)

il faut ensuite montrer qu'elles sont toutes égales.

AMB et AMC ont même aire

a5 + a6 + a1 = a4 + a3 + a2      comme a1 = a2

a5 + a6 = a4 + a3            comme a5 = a6 et a4 = a3

  2a5    =    2a4

   a5 = a4

on a montré a5 = a6 = a4 = a3    (il reste a1 et a2)

on recommence avec deux autres triangles, par exemple

CPA et CPB ont même aire   (même raisonnement)

a3 + a4 + a5 = a2 + a1 + a6        (a5 = a6)

a3 + a4 = a2 + a1

2a3 = 2a1

a3 = a1