Bonjour! pouvez-vous m'aider s'il vous plait ! je vous remercie d'avance! L'énoncé est ci-joint ! j'ai des difficultés avec le numéro 2 et 4

Réponse : P(x) n'est pas divisible par (x - 1)car 1 n'est pas une racine du polynôme P(x)

P(x) = (x - 1) ( x² + 5x + 7) + 6 ; Q(x) = x² + 5x + 7 et r = 6

Explications étape par étape

1) P(1) = 6 donc P(1) ≠ 0

2)P(x) - 6 = (x - 1) ( x² + 5x + 7)

Bonjour,

1) Si (x - 1) divise P(x), alors P(x) = (x - 1)Q(x)

Donc P(x) = 0 a pour solution (x - 1) = 0, soit x = 1

Or P(1) = 6 ≠ 0 ⇒ P(x) n'est pas divisible par (x - 1)

2) P(x) + k = x³ + 4x² + 2x - 1 + k

P(1) = 6 + k

On veut : P(1) = 0 ⇒ k = -6

Soit : P(x) + k = x³ + 4x² + 2x - 7

(vérification : (x - 1)(x² + 5x + 7) = P(x))

On en déduit :

P(x) - 6 = (x - 1)(x² + 5x + 7)

⇔ P(x) = (x - 1)(x² + 5x + 7) + 6

Soit : Q(x) = x² + 5x + 7 et r = 6

3) ...

4) il manque le résultat de la 3) pour répondre avec la méthode proposée

a) P(x) = 5x⁴ - 3x³ + x² - 7x + 1

et ax² + bx + c = (x + 3)(x - 2) = x² + x - 6

Si U(x) est de degré 2, soit U(x) = Ax² + Bx + C :

(x² + x - 6)(Ax² + Bx + C)

= Ax⁴ + Bx³ + Cx² + Ax³ + Bx² + Cx - 6Ax² - 6Bx - 6C

= Ax⁴ + (B + A)x³ + (C + B - 6A)x² + (C - 6B)x - 6C

Par analogie des termes de même degré avec P(x) :

A = 5

A + B = -3 ⇒ B = -3 - A = -8

C + B - 6A = 1 ⇒ C = 1 - B + 6A = 1 + 8 + 30 = 39

C - 6B = -7 ce qui est n'est vérifié : 39  + 48 = 87 donc il faut enlever -(87 + 7)x = -94x

-6C = 1 ce qui n'est pas vérifié (-6C= -234) donc il faut ajouter 235

ce qui donne : U(x) = 5x² - 8x + 39

P(x) = (x² + x - 6)(5x² - 8x + 39) - 94x + 235

Soit V(x) = -94x + 235

Mais je ne sais pas si c'est ce qu'on te demande....