Bonjour j'ai besoin d'aide pour mon DM de maths. Un parfumeur veut fabriquer une boite de présentation en forme de cône pour contenir un flacon de parfum cylind
Question
Un parfumeur veut fabriquer une boite de présentation en forme de cône pour contenir un flacon de parfum cylindrique de rayon 3cm et de hauteur 5cm.
On note R le rayon de la base de la boîte conique et h sa hauteur.
Pour diminuer le coût de fabrication il souhaite utiliser le moins de carton possible et donc trouver la boîte conique de volume minimal.
1) exprimer la hauteur h de la boîte en fonction de R. En déduire son volume en fonction de R.
2) déterminer la valeur du rayon R et de la hauteur h de cette boîte conique de sorte que son volume soit minimal. Quel est ce volume minimal (arrondi au dixième de cm^3) ?
Je suis arrivé à thales pour la première question mais je reste bloqué. Merci de m'aider.
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1) Thalès :
SO'/SO = O'B'/OA
B' étant le point l'intersection de (SA) et de la parallèle à (OA) passant par O'.
On sait : SO' = h - 5, SO = h, O'B' = OB = 3 et OA = R
On en déduit :
(h - 5)/h = 3/R
⇔ R(h - 5) = 3h
⇔ h(R - 3) = 5R
⇔ h = 5R/(R - 3)
Volume du cône : V = πR² x h/3
⇒ V = πR² x 5R/3(R - 3)
⇔ V = (5π/3) x R³/(R - 3)
2) On pose : f(x) = (5π/3) * x³/(x - 3) pour x ∈ ]0;+∞{
Dérivée :
f'(x) = (5π/3) * [3x²(x - 3) - x³]/(x - 3)²
= (5π/3) * (2x³ - 9x²)/(x - 3)²
= (5π/3) * x²(2x - 9)/(x - 3)²
f' est du signe de (2x - 9)
Tableau de variations de f :
x 0 9/2 +∞
(2x - 9) - 0 +
f'(x) - 0 +
f(x) décroissante croissante
On en déduit que f atteint un minimum pour x = 9/2
Donc V est minimum pour R = 9/2 = 4,5 cm
et vaut alors : V = (5π/3) x (4,5)³/(4,5 - 3)
= 5π/3 x 91,125/1,5
= 101,25π cm³
≈ 318,1 cm³