Bonjour, quelqu'un pourrait t-il m'aider pour cet exercice s'il vous plait ? 1/ Lorsqu'on calcule les puissances successives d'un nombre entier, les chiffres de
Question
1/ Lorsqu'on calcule les puissances successives d'un nombre entier, les chiffres des unités se reproduisent par cycle :
Avec les puissances de 2, on obtient 2-4-8-6
a. Donner le chiffre des unités de 2^1515 et de 2^1789.
b. Trouver le cycle des unités des puissances de 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 et 9.
2/ Quel est le chiffre des unités de : 1^3+2^3+4^3+...+2015^3 ?
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ... + 2015³ --> se termine par zéro .
Explications étape par étape :
■ 1515 = (378x4) + 3 ; 1789 = (447x4) + 1
2 puissance 1 = 2
2² --> se termine par 4
2³ --> se termine par 8
2 puiss4 --> se termine par 6
2 puiss5 --> 2
2 puiss6 --> 4
2 puiss7 --> 8
donc 2 puiss1515 --> se termine par 8 .
2 puiss1789 --> se termine par 2 .
■ étude des puiss de 3 :
3 --> 3 ; 3² --> 9 ; 3³ --> 7 ; 3 puiss4 --> 1 ;
3 puiss5 --> 3 ; 3 puiss6 --> 9 ; ...
■ étude des puiss de 4 :
4 --> 4 ; 4² --> 6 ; 4³ --> 4 ; 4 puiss4 --> 6 ; ...
■ étude des puiss de 5 :
5 --> 5 ; 5² --> 5 ; 5³ --> 5 toujours !
■ étude des puiss de 6 :
6 --> 6 ; 6² --> 6 ; 6³ --> 6 toujours !
■ étude des puiss de 7 :
7 --> 7 ; 7² --> 9 ; 7³ --> 3 ; 7 puiss4 --> 1 ;
7 puiss5 --> 7 ; ...
■ étude des puiss de 8 :
8 --> 8 ; 8² --> 4 ; 8³ --> 2 ; 8 puiss4 --> 6 ;
8 puiss5 --> 8 ; ...
■ étude des puiss de 9 :
9 --> 9 ; 9² --> 1 ;
9³ --> 9 ; ...
■ conclusion :
2015 = (201 x10) + 5
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ... + 2015³
--> 1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 + 0 +
1 + 8 + ...
( soit 45 par ligne complète )
--> 45x201 + 1 + 8 + 7 + 4 + 5
--> 5 + 25
--> se termine par zéro .
Tu vérifies ? ☺