Bonjour / Bonsoir ! J'ai un devoir maison de Maths à rendre demain et je n'arrive aucunement à faire le dernier exercice ! Quelqu'un pour m'aider ? Voici l'exer
Question
Voici l'exercice :
On considère la fonction g définie sur ]-~;0[U]0;+~[ par
f(x)=1/x^2
1) Soient a et b deux réels strictement positifs tel que a < b
a) Démontrer que f(b)-f(a)=(a-b)(a+b)/a^2b^2
b) En déduire le signe de f(b)-f(a)
c) Conclure sur le sens de variation de f sur ]0;+~[
2) Démontrer que f est strictement croissante sur ]-~;0[.
1 Réponse
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1. Réponse godetcyril
Réponse : Bonsoir,
1)a) Soient a et b deux réels strictement positifs tel que a < b.
[tex]f(b)-f(a)=\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{(a-b)(a+b)}{a^{2}b^{2}}[/tex].
b) a et b sont deux réels strictement positifs, donc a+b >0, et comme a < b, alors a-b<0, le numérateur est donc négatif. Donc comme le dénominateur est strictement positif, comme c'est le produit de deux nombres au carré, on en déduit que f(b)-f(a) < 0.
c) On a pris deux réels a et b strictement positifs, tels que a < b, et f(b)-f(a) <0, d'où f(b) < f(a). On en déduit que f est strictement décroissante sur ]0;+∞[.
2) On prend deux réels a et b strictement négatifs, tels que a <b. D'après la question précédente:
[tex]f(b)-f(a)=\frac{(a-b)(a+b)}{a^{2}b^{2}}[/tex].
On a:
[tex]a < b < 0\\a+b < 2b < b < 0[/tex].
On a donc que a+b < 0. Puis comme a < b, alors a-b < 0.
Donc le numérateur de f(b)-f(a) est positif, comme produit de deux nombres négatifs.
Le dénominateur est positif, comme produit de deux nombres au carré.
On en déduit que f(b)-f(a) >0, donc f(a) < f(b).
On en déduit que f est strictement croissante sur ]-∞;0[.