Devoir nº 1: développement décimal d'un rationnel La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dan
Question
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l'appréciation des copies.
22
1. On considère le nombre rationnel (qui s'exprime comme le rapport de deux nombres entiers)
(a) Poser la division de 22 par 7 jusqu'à l'obtention de 10 chiffres après la virgule.
(b) Expliquer pourquoi il suffit de connaître le développement jusqu'à la 7° décimale.
2. (a) Expliquer pourquoi le développement décimal de est qualifié de périodique. Quel est le nombre
de chiffres de sa période?
(b) Quelle est la 128 décimale de ? (expliquer votre méthode)
3. On se propose de vérifier sur quelques exemples que tout nombre admettant un développement décimal
périodique est un nombre rationnel.
(a) On considère le nombre x = 0,5454 ... dont la période 54 a deux chiffres.
Calculer 100%.
Justifier que 100.0 = 54 +2.
Résoudre cette équation et en déduire l'écriture de z en fraction.
(b) Déterminer l'écriture en fraction de 0,785785....
Merciiii infiniment !!
1 Réponse
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1. Réponse jpmorin3
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers.
1)
a) on fait la division de 22 par 7
on trouve : 3, 142857 1428 avec 10 chiffres après la virgule
b) à partir de la 7e décimale on s'aperçoit que l'on retrouve 1 au quotient. On va refaire les mêmes calculs. Ce n'est pas la peine de continuer.
[fais la division et observe-la. 22 que divise 7 on met 3 au quotient et il reste 1, on continue quotient 1 reste 3, quotient 4 reste 2, quotient 2 reste 6 , quotient 8 reste 4, quotient 5 reste 5, quotient 7 reste 1
on retombe sur le premier reste et l'opération se répète. Une remarque on a épuisé tous les restes possibles puisque dans cette division le reste doit être inférieur à 7.]
2)
a) Sans effectuer la suite de la division on sait que l'on va obtenir
3, 142857 142857 142857 142857 142857 ..........
ce développement décimal est appelé périodique : un bloc de chiffre se répète à l'infini. Ce bloc s'appelle une période. Ici la période est 142857 elle comporte 6 chiffres
b) le 128e décimale
on compte combien de fois 128 contient 6
128 = 6 x 21 + 2
au 128e chiffre on a passé 21 périodes et on est au 2e chiffre de la 22e
Le 2e chiffre d'une période est 4 ( 142857 )
3) on veut montrer que tout développement périodique correspond à un nombre rationnel, c'est à dire à une fraction
z = 0,54545454......
(je ne comprends pas ce que dit ton énoncé. D'ailleurs il ne veut rien dire. Je fais comme je sais le faire)
z = 0,54545454...... on multiplie ce nombre par 100 (les "2" zeros correspondent à une période de "2" chiffres
100z = 54, 5454545454.....
100z - z = 54, 5454545454..... - 0,54545454......
99z = 54 car il y a une infinité de chiffres décimaux
z = 54/99 on a la fraction, il reste à la simplifier
z = 6 / 11
(si tu veux contrôler tu divises 6 par 11 et tu retrouves 0,545454......
b)
x = 0,785785.... comme la période a 3 chiffres on multiplie par 1000
1000x = 785,785785785.....
1000x - x = 785
999x = 785
x = 785/999 fraction irréductible
dernière remarque
11/ 3 = 3,66666666666666................ la période a 1 seul chiffre