Bonsoir, Je suis bloqué sur un exercice. Pouvez-vous m'aider ? Soit [tex]f[/tex] la fonction définie sur [tex]R*[/tex] par [tex]f(x) = \frac{-x^2+2x-1}{x}[/tex

Réponse :

f est définie sur R*  par f(x) = (- x² + 2 x - 1)/x

1) déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale

la tangente à C est horizontale ⇔ f '(x) = 0

f '(x) = (u/v) ' = (u'v - v'u)/v²

u = - x² + 2 x - 1 ⇒ u ' = - 2 x + 2

v = x ⇒ v ' = 1

f '(x) = [(- 2 x + 2) * x - 1 *(- x² + 2 x - 1)]/x²

      = (- 2 x² + 2 x + x² - 2 x + 1)/x²

      = (- x² + 1)/x²

f '(x) =   (- x² + 1)/x² = 0 ⇔ - x² + 1 = 0 ⇔ x² = 1 ⇒ x = 1  ; x = - 1

2) existe t-il des points de C où la tangente admet un coefficient directeur égal à - 2

on écrit  f '(x) = - 2 ⇔  (- x² + 1)/x² = - 2 ⇔ - x² + 1 = - 2 x² ⇔ x² = - 1

un carré est toujours positif, donc il n'existe pas des points de C

3) déterminer les abscisses des points de C où la tangente est // à la droite d'équation y = - 2/3 x - 5

on écrit  f '(x) = - 2/3 ⇔  (- x² + 1)/x² = - 2/3 ⇔ - x² + 1 = - 2/3 x²

⇔ - 2/3 x² + x² = 1  ⇔1/3 x² = 1 ⇔ x² = 3 ⇒ x = √3  ; x = - √3

Explications étape par étape