Bonjour, Je n'arrive pas à un exercice. Je n'y comprends rien mais strictement rien, votre aide serait la bienvenue! J'aimerais quelques petits conseils pour bi

Réponse :

f est définie sur  R \ {1}  par : f(x) = (a x² + b x - 5)/(x+c)

où  a, b, c  sont trois constantes réelles

puisque  f est définie sur R \ {1}  ⇒ c = - 1

PARTIE A

1) f est dérivable sur R \ {1}  Montrer que, pour tout x ∈ R \ {1}

f '(x) = (a x² - 2 a x - b + 5)/(x-1)²

u = a x² + b x - 5 ⇒ u' = 2a x + b

v = x - 1  ⇒ v ' = 1

(u/v) ' = (u ' v - v ' u)/v² = [(2 a x + b)(x - 1) - (a x² + b x - 5)]/(x-1)²

= (2 a x² - 2 ax + b x - b - a x² - b x  + 5)/(x-1)²

⇒  f ' (x) = (a x² - 2 a x - b + 5)/(x-1)²

2) déterminer les constantes réelles  a , b et c

* f(x) = 5 = (a x² + b x - 5)/(x + c) ⇔ 5(x - c)/(x+c) = (a x² + b x - 5)/(x + c)

⇔ (a x² + b x - 5)/(x + c) - 5(x-c)/(x +c) = 0 ⇔ (a x² + b x - 5) - 5(x + c) = 0

  ⇔ a x² + (b - 5) x - 5(c + 1)  = 0

* la courbe de C passe par le point de coordonnées (- 1 ; 3)

 f(x) =  (a x² + b x - 5)/(x+c)

(- 1 ; 3) ∈ C ⇔  3 = (a - b - 5)/(-1+c) ⇔ 3(- 1 + c)/(-1+c) = (a-b-5)/(-1+c)

⇔ (a - b - 5) - 3(- 1 + c) = 0 ⇔ a - b - 5 + 3 - 3 c = 0

⇔ a - b - 3 c - 2 = 0

*  le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse - 1 est 3/2

  f '(- 1) = 3/2

⇔ f '(-1) = (a + 2 a - b + 5)/4 = 3/2 ⇔ 3 a - b + 5 = 6 ⇔ 3 a - b = 1

on sait que c = - 1  

a - b + 3 - 2 = 0 ⇒ a - b = - 1 ⇒ a = b - 1 ⇒ a = 2 - 1 = 1

3 a - b = 1 ⇔ 3 (b-1) - b = 1 ⇔ 2 b = 4 ⇒ b = 4/2 = 2

Donc a = 1 ; b = 2 et c = - 1

Explications étape par étape