Bonsoir, le raisonnement suivant est-il correct s'il vous plaît ? (surtout pour l'affirmation suivie d'un astérisque*, la somme d'un irrationnel et d'un rationn
Mathématiques
Zebda
Question
Bonsoir, le raisonnement suivant est-il correct s'il vous plaît ? (surtout pour l'affirmation suivie d'un astérisque*, la somme d'un irrationnel et d'un rationnel donne-t-elle un nombre irrationnel ?)
On veut montrer que [tex]d = \frac{3 + \sqrt{5} }{6}[/tex] est irrationnel.
Avec un raisonnement par l'absurde, on suppose que d est rationnel, et peut donc s'écrire sous la forme [tex]d = \frac{a}{b}[/tex] avec a∈Z et b∈N (b≠0).
On a alors b = 6 et a = 3 + [tex]\sqrt{5}[/tex].
6∈N, donc b vérifie bien la condition initiale
5 est un entier naturel supérieur à deux, et 2² < 5< 3², donc 5 n'est pas un carré parfait, donc [tex] \sqrt{5} [/tex] est irrationnel, donc 3 + [tex]\sqrt{5} [/tex] est irrationnel.*
Donc a∉Z, il y a contradiction, donc d ne peut être rationnel, d est alors irrationnel.
On veut montrer que [tex]d = \frac{3 + \sqrt{5} }{6}[/tex] est irrationnel.
Avec un raisonnement par l'absurde, on suppose que d est rationnel, et peut donc s'écrire sous la forme [tex]d = \frac{a}{b}[/tex] avec a∈Z et b∈N (b≠0).
On a alors b = 6 et a = 3 + [tex]\sqrt{5}[/tex].
6∈N, donc b vérifie bien la condition initiale
5 est un entier naturel supérieur à deux, et 2² < 5< 3², donc 5 n'est pas un carré parfait, donc [tex] \sqrt{5} [/tex] est irrationnel, donc 3 + [tex]\sqrt{5} [/tex] est irrationnel.*
Donc a∉Z, il y a contradiction, donc d ne peut être rationnel, d est alors irrationnel.
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
Réponse :
raisonnement par l'absurde
soit d = (3+√5)/6 = 1/6(18/6 + √5)
on considère d' = 18/6 + √5
soit a/b = 18/6 est un nombre rationnel (a , b entiers , b ≠ 0)
c = √5 est un nombre irrationnel
posons d = a/b + c
et supposons que d est un nombre rationnel , il existe deux entiers p et q tels que d = p/q (q ≠ 0)
⇔ p/q = a/b + c ⇒ c = p/q - a/b = (pb - aq)/qb or qb est un entier et
(pb - aq) est aussi un entier ⇒ (pb - aq)/qb est rationnel
or il y a une contradiction car c est irrationnel
Donc la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel donne toujours un un nombre irrationnel
en multipliant le nombre irrationnel par un nombre rationnel donne toujours un nombre irrationnel
Explications étape par étape