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Question

Utiliser la factorisation et le développement.

Soit A la fonction définie sur R par: A(x) = (2x-3)² -4(x+2)(9-6x)

1) développer A(x)
2) factoriser A(x)
3) calculer A(0),A(racine carré 2) et A(-2)
4) donner les images par A de 3sur2 ; moins 3sur 2 ; racine carré de 2 + racine carré de 3
5) résoudre l'équation A(x) =0
6) déterminer les antécédents de -63 par A.
7) résoudre l'inequation A(x) ≥0.
Utiliser la factorisation et le développement. Soit A la fonction définie sur R par: A(x) = (2x-3)² -4(x+2)(9-6x) 1) développer A(x) 2) factoriser A(x) 3) calcu

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1 Réponse

  • Bonsoir,

    A(x) = (2x-3)² -4(x+2)(9-6x)

    1) A(x) = (4x² - 12x + 9) - 4(9x - 6x² + 18 - 12x)
                = 4x² - 12x + 9 - 36x + 24x² - 72 + 48x
                = 28x² - 63

    2) A(x) = 28x² - 63
               = 7(4x² - 9)
               = 7(2x - 3)(2x + 3)

    3) A(x) = 28x² - 63 ===> A(0) = 28*0² - 63
                                  ===> A(0) = 0-63
                                  ===> A(0) = -63


    A(x) = 28x² - 63 ===> A(√2) = 28(√2)² - 63
                             ===> A(√2) = 28*2 - 63
                             ===> A(√2) = 56 - 63
                             ===> A(√2) = -7

    A(x) = 28x² - 63 ===> A(-2) = 28(-2)² - 63
                             ===> A(-2) = 28*4 - 63
                             ===> A(-2) = 112 - 63
                             ===> A(-2) = 49

    3) Image de 3/2 : 
    A(x) = 28x² - 63 ===> A(3/2) = 28*(3/2)² - 63
                                                 = 28*(9/4) - 63
                                                 = 7*9 - 63
                                                 = 63 - 63
                                                 = 0
    L'image par A de 3/2 est 0.

    Image de -3/2 : 
    A(x) = 28x² - 63 ===> A(-3/2) = 28*(-3/2)² - 63
                                                 = 28*(9/4) - 63
                                                 = 7*9 - 63
                                                 = 63 - 63
                                                 = 0
    L'image par A de -3/2 est 0.

    Image de √2+√3
    A(x) = 28x² - 63 ===> A(√2 + √3) = 28(√2 + √3)² - 63
                                                        = 28(2 + 2√6 + 3) - 63
                                                        = 28(5 + 2√6) - 63
                                                        = 140 + 56√6 - 63
                                                        = 77 + 56√6

    L'image par A de √2 + √3 est 77 + 56√6

    5) A(x) = 0
    7(2x - 3)(2x + 3) = 0
    (2x - 3)(2x + 3)
    2x - 3 = 0   ou   2x + 3 = 0
    2x = 3   ou   2x = -3
    x = 3/2   ou   x = -3/2

    6)  Antécédents de -63 par A.

    Résoudre A(x) = -63
    28x² - 63 = -63
    28x² = -63 + 63
    28x² = 0
    x² = 0
    x = 0

    L'antécédent de -63 par la fonction A est 0.

    7) Résoudre l'inéquation A(x) ≥ 0.
    Tableau de signes.

    [tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&-\frac{3}{2}&&\frac{3}{2}&&+\infty \\ 7(2x-3)&&-&-&-&0&+& \\ 2x+3&&-&0&+&+&+&\\ 7(2x-3)(2x+3)&&+&0&-&0&+&\end{array}\\\\\\S=]-\infty;-\dfrac{3}{2}]\ \cup\ \ [\dfrac{3}{2};+\infty[[/tex]

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