Pouvez-vous m'aider sur le problème merci Soient a∈N* et b∈N* et a ≥b r est le reste de la division euclidienne de a par b Montrer que r<[tex]\frac{a}{2}[/tex]

Réponse :

Explications étape par étape

Supposons par l'absurde que r≥a/2

alors 2r≥a ; or d'après l'identité d'Euclide il existe q entier non nul tel que a=bq+r

donc 2r≥bq+r donc r≥bq

ainsi il existe un entier k non nul tel que r=bq+k

cela signifie que k serait le reste de la division euclidienne de a par b

ce qui est absurde puisque ce reste r est unique !

Par conséquent l'hypothèse initiale est fausse

donc pour tout a et b entiers non nuls tels que a=bq+r alors r<a/2