comment trouver la racine cubique d'un complexe svp.​

Réponse :

il faut chercher 3 couples (x , y) vérifiant l'équation

soit  z³ = (x + iy)³ = a+ib     a et b des nombres réels

(x + iy)² = x² + 2i xy - y²

(x²+2ixy-y²)(x+iy) = x³ + ix²y + 2ix²y - 2xy²- y²x - iy³

                           = x³ + 3ix²y - 3xy² - iy³

                           = x³ - 3 xy² + i(3x²y - y³) = a + ib

⇒ x³ - 3 xy² = a

   3x²y - y² = b

c : est la racine cubique réel de a²+b²

on obtient une équation du 3ème degré suivante :

4 x³ - 3 cx - a = 0

les trois racines de a+ib sont

x + iy ;  j(x+iy)  et j²(x+iy)     avec y = b/(4 x²-c)

pour mieux comprendre, nous allons passer à un exercice d'application

soit  à rechercher les racines cubiques du nombre  18 + 26i

a = 18  ; b = 26  d'où  c = ∛(18²+26²) = ∛1000 = 10

l'équation du 3 ème degré devient :

4 x³ - 30 x - 18 = 0

pour x = 3  l'équation est vérifiée  donc  x = 3  est une solution

calculons  y = 3bx/(8x²+a) = 3 * 26 *3/(8*3²+18) = 1

Les 3 racines de 18+26i sont:

z1 = 3+i

z2 = j(3+i)

Z3 = j²(3+i)

j : s'obtient en résolvant l'équation du 2ème degré  donc j = - 1/2 i√3/2

Explications étape par étape