bonjour à tous, j'aurais besoin d'un coup de main svp. Merci d'avance Il faut trouver l'équation de BC​

A(1 ; 3)     B(5 ; 11)

l'équation réduite de la droite (AB) est de la forme

y = ax + b

on écrit que le point A est un point de cette droite

3 = a + b (1)

on écrit que le point B est sur cette droite

11 = 5a + b (2)

on résout le système formé par les équations (1) et (2) pour déterminer a et b

(2) - (1)

11 - 3 = 5a - a

8 = 4a

a = 2

on porte dans (1)    3 = a + b

                               3 = 2 + b

b = 1

équation (AB) : y = 2x + 1

Equation de la droite (BC)

elle est de la forme y = a'x + b'

elle est perpendiculaire à (AB) son coefficient directeur a' est tel que

a*a' = -1  ou  2*a' = -1  d'où    a' = -1/2 et   y = -1/2x + b

elle passe par le point B(5 ; 11)

11 = (-1/2)5 + b

b = 11 + 5/2

b = 27/2

réponse y = -1/2 x + 27/2

Réponse : Bonjour,

Les points A, X et C sont alignés donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{AX}[/tex] et [tex]\overrightarrow{XC}[/tex], sont colinéaires.

Calculons les coordonnées de ces deux vecteurs:

[tex]\overrightarrow{AX}(4-1;4-3)=(3;1)\\\overrightarrow{XC}(x-4;y-4)[/tex] en notant C(x;y) les coordonnées du point C.

Puisque ces deux vecteurs sont colinéaires alors:

[tex]3(y-4)-(x-4) \times 1=0\\3y-12-x+4=0\\3y-x-8=0\\3y=x+8\\y=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}[/tex].

Puisque le triangle est rectangle en B, les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] sont orthogonaux.

On calcule les coordonnées de ces deux vecteurs:[tex]\overrightarrow{AB}(5-1;11-3)=(4;8)\\\overrightarrow{BC}(x-5;y-11)[/tex].

On calcule le produit scalaire et celui-ci est nul, puisque les deux vecteurs sont orthogonaux:

[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=4(x-5)+8(y-11)=0\\4x-20+8y-88=0\\4x+8y-108=0\\8y=-4x+108\\y=-\frac{1}{2}x+\frac{108}{8}=-\frac{1}{2}x+\frac{27}{2}[/tex].

Nous obtenons un système de deux équations à deux inconnues x et y, qui sont les coordonnées du point C:

[tex]\left \{ {{y=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}} \atop {y=-\frac{1}{2}x+\frac{27}{2}}} \right.[/tex].

On résout donc l'équation:

[tex]\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}=-\frac{1}{2}x+\frac{27}{2}\\\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x=\frac{27}{2}-\frac{8}{3}\\\frac{2+3}{6}x=\frac{81-16}{6}\\\frac{5}{6}x=\frac{65}{6}\\x=\frac{65}{6} \times \frac{6}{5}=13[/tex].

On calcule enfin y en utilisant l'une des deux équations du système, on choisit la première équation:

[tex]\frac{1}{3} \times 13+\frac{8}{3}=\frac{13}{3}+\frac{8}{3}=\frac{21}{3}=7[/tex].

Donc C(13;7).

On est donc en mesure de calculer l'équation de la droite (BC):

[tex]a=\frac{7-11}{13-5}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}[/tex]

Le point B appartient à la droite (BC), donc:

[tex]11=-\frac{1}{2} \times 5+b\\b=11+\frac{5}{2}=\frac{22+5}{2}=\frac{27}{2}[/tex].

Donc l'équation de (BC) est [tex]y=-\frac{1}{2}x+\frac{27}{2}[/tex].