aidé moi pour mon exercice s'il vous plaît mes amis 1) Quel sont les entiers naturels dont le carré est un diviseur de 1998? 2) pour tous couple (a;b) d'entiers

Bonjour ;

1.

1998 = 2 x 999 = 2 x 9 x 111 = 2 x 9 x 3 x 37 = 2 x 3³ x 37 ;

donc les nombres entiers naturels dont le carré est un

diviseur de 1998 sont : 1 et 3 .

2.

Comme S est le PGCD de a et b , donc il existe deux nombres

entiers naturels premiers entre-eux A et B tels que : a = SA

et b = SB .

Comme M est le PPCM de a et b , donc on a : M = SAB .

On a : M² - 3S² = (SAB)² - 3S² = S²A²B² - 3S² = S²(A²B² - 3) = 1998 ;

donc S est un nombre entier naturel donc le carré est un diviseur

de 1998 , donc S peut être égal à 3 ou 1 .

Si S = 3 ;

donc : 9(A²B² - 3) = 1998 ;

donc : A²B² - 3 = 222 ;

donc : A²B² = 225 = 15² ;

donc : AB = 15 ;

donc : (A;B) ∈ {(1;15) , (3;5) , (5;3) , (15;1)}

donc : (a;b) ∈ {(3;45) , (9;15) , (15;9) , (45;3)} .

Si S = 1 ;

donc : A²B² - 3 = 1998 ;

donc : A²B² = 2001 qui n'est pas un carré parfait ; donc S = 1

ne convient pas .

Conclusion :

L'ensemble des couples (a;b) solutions de l'équation est :

{(3;45) , (9;15) , (15;9) , (45;3)} .