Bonjour, est ce que quelqu un aurait la solution de cette equation avec sa démonstration, merci d avance: (e^x) + 4 = 2 / (e^x)

Réponse : Bonjour,

[tex]e^{x}+4=\frac{2}{e^{x}}\\e^{x}(e^{x}+4)=2\\e^{2x}+4e^{x}-2=0[/tex].

On pose [tex]X=e^{x}[/tex], alors l'équation devient:

[tex]X^{2}+4X-2=0[/tex].

On résout cette dernière équation:

[tex]\Delta=4^{2}-4 \times 1 \times (-2)=16+8=24[/tex].

Donc les racines de cette équation sont:

[tex]X_{1}=\frac{-4-\sqrt{24}}{2} \quad X_{2}=\frac{-4+\sqrt{24}}{2}\\X_{1}=\frac{-4-2\sqrt{6}}{2} \quad X_{2}=\frac{-4+2\sqrt{6}}{2}\\X_{1}=-2-\sqrt{6} \quad X_{2}=-2+\sqrt{6}[/tex].

Comme on a posé [tex]X=e^{x}[/tex], alors il faut résoudre les deux équations suivantes:

[tex]e^{x}=-2-\sqrt{6} \quad e^{x}=-2+\sqrt{6}[/tex].

Comme [tex]-2-\sqrt{6} < 0[/tex], alors [tex]e^{x}=-2-\sqrt{6}[/tex] n'a pas de solution. Il reste donc à résoudre:

[tex]e^{x}=-2+\sqrt{6}\\\ln(e^{x})=\ln(-2+\sqrt{6})\\ x=\ln(-2+\sqrt{6})[/tex].

Donc la seule solution de cette équation est [tex]x=\ln(-2+\sqrt{6})[/tex].

Réponse :

la seule solution de cette équation est :

x = Ln(-2+√6) ≈ -0,8

Explications étape par étape :

■ bonjour !

■ soit X = exp(x) ; on doit résoudre :

                             X + 4 = 2 / X

                         X² + 4X = 2

                   X² + 4X - 2 = 0

                     (X+2)² - 6 = 0

 (X+2 - √6) (X+2 + √6) = 0

  donc   X = -2-√6   OU   X = -2+√6 .

■ conclusion :

  exp(x) = -2-√6 ≈ -4,45

     n' admet pas de solution

              car il faut exp(x) > 0 ♥

donc il reste à résoudre :

   exp(x) = -2+√6 ≈ 0,45

          x = Ln(-2+√6) ≈ -0,8 .

■ vérif :

  exp(-0,8) + 4 ≈ 4,45 ;

     2/exp(-0,8) ≈ 4,45 aussi !