Vous pouvez m’aider pour l’exercice 7 s’il vous plaît ?

Bonjour ;

1.

Soient x et y les dimensions du rectangle ;

donc son aire est : xy = 16 ;

donc : y = 16/x .

Le périmètre du rectangle est : 2(x + y) = 2(x + 16/x) ;

donc : p(x) = 2(x + 16/x) .

2.

On a : p'(x) = 2(1 - 16/x²) = 2 - 32/x² = (2x² - 32)/x²

= 2/x² (x² - 16) = 2/x² (x - 4)(x + 4) .

Pour x ∈ ]0 ; 4[ , p'(x) < 0 ,

donc p est strictement décroissante sur ]0 ; 4[ .

Pour x ∈ ]4 ; + ∞[ , p'(x) > 0 ,

donc p est strictement croissante sur ]4 ; + ∞[ .

Pour x = 4 ; on a p '(x) = 0 ,

donc p(4) = 16 est un extremum de p .

3.

La fonction p' est strictement décroissante sur ]0 ; 4[ ;

strictement croissante sur ]4 ; + ∞[ ;

et s'annule pour x = 4 où elle admet un extremum ;

donc cet extremum est un minimum .

4.

On a : p(x) - 2x = 2(x + 16/x) - 2x = 16/x ;

donc pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ , p(x) - 2x > 0 ;

donc pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ , p(x) > 2x ;

donc pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ le courbe C est au-dessus de

la droite d'équation réduite : y = 2x .

Réponse :

L'aire d'un rectangle est donnée par la formule A=longueur * largeur  si x (différent de 0) est la longueur la largeur est A/x  soit 16/x

Explications étape par étape

P=(longueur+largeur )*2

p(x)=(x+16/x)*2=(2x²+32)/x

pour déterminer les variations de p(x) sur ]0;+oo[

a)   tu es au collège : tu fais un tableau en faisant varier x au pas de 0,5

x  0,5     1      1,5    2     2,5     3     3,5       4     4,5        5    5,5 ..........

et tu calcules les valeurs de p(x) correspondantes

b) tu as vu les dérivées (prog de 1ère)

p'(x)= [4x*x-2x²-32]/x²

p'(x)=(2x²-32)/x²

Tu étudies le signe de cette dérivée et dresses le tableau de variation de p(x)

p'(x)=0   pour x=4     (sur ]0;+oo[)

x        0                               4                         +oo

p'(x)   ...........-..........................0..............+..............

p(x) II  +oo......décroi...........p(4)........croi............+oo

le périmètre est minimal pour x=4 dans ce cas le rectangle est un carré

4) il faut étudier le signe de p(x)-2x

si c'est >0 la courbe est au dessus de la droite si c'est <0 elle est en dessous

(2x²+32)/x -2x= (2x²+32-2x²)/x=32/x ; comme x est >0 cette expression est >0 donc  la courbe est au dessus de la droite y=2x