Bonjour, est-ce possible de m’aider pour ces deux exercices s’il vous plait ? Exercice 1 : f est une fonction définie sur R par f(x)=2x^2-4x+3 et C est sa courb

Réponse : Bonjour,

Exercice 68

A) On calcule d'abord la fonction dérivée f':

[tex]f'(x)=2 \times 2x-4=4x-4[/tex].

Une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0:

[tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)[/tex].

[tex]f'(0)=4 \times 0-4=-4\\f(0)=2 \times 0^{2}-4 \times 0+3=3[/tex].

Donc l'équation de T est:

[tex]y=f'(0)x+f(0)\\y=-4x+3[/tex].

Donc l'équation de la tangente T est y=-4x+3

B) Je vous laisse tracer à la calculatrice.

C) Pour étudier la position de f par rapport à T, il faut étudier la différence f(x)-(-4x+3).

On calcule d'abord la valeur de f(x)-(-4x+3):

[tex]f(x)-(-4x+3)=2x^{3}-4x+3-(-4x+3)=2x^{3}-4x+3+4x-3=2x^{3}[/tex].

Donc f(x)-(-4x+3) est du signe de [tex]2x^{3}[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex].

On a:

x              -∞                              0                                     +∞

[tex]2x^{3}[/tex]        -              Ф                 +

On a donc que f(x)-(-4x+3) [tex]\leq 0[/tex] sur ]-∞;0], donc sur cet intervalle [tex]f(x) \leq -4x+3[/tex], donc sur ]-∞;0], la courbe C est en dessous de T.

Puis f(x)-(-4x+3) [tex]\geq 0[/tex] sur ]0;+∞], donc sur cet intervalle [tex]f(x) \geq -4x+3[/tex], donc sur ]0;+∞], la courbe C est au dessus de T.  

Exercice 80

Si on pose [tex]f(x)=x^{2011}[/tex], alors:

[tex]\lim_{h \mapsto 0} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h}=\lim_{h \mapsto 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/tex].

On reconnait donc le taux de variation de f au point d'abscisse 1, et donc:

[tex]\lim_{h \mapsto 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=f'(1)[/tex].

Il nous faut donc calculer la fonction dérivée f':

[tex]f'(x)=(x^{2011})'=2011x^{2011-1}=2011x^{2010}[/tex].

Et donc:

[tex]f'(1)=2011 \times 1^{2010}=2011[/tex].

Finalement:

[tex]\lim_{h \mapsto 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h \mapsto 0}\frac{(1+h)^{2011}-1}{h}=2011[/tex].