étudier le signe du quotient [tex] \frac{1-3x}{x} [/tex] et en déduire les solutions de l'équation [tex] \frac{1}{x} \leq 3[/tex]

Bonsoir

Signe de  [tex]\dfrac{1-3x}{x}[/tex]

Racine du numérateur : 1 - 3x = 0 ===> -3x = -1
                                                      ===> x = (-1)/(-3)
                                                      ===> x = 1/3
Racine du dénominateur : x = 0

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&0&&\dfrac{1}{3}&&+\infty \\ 1-3x&&+&+&+&0&-&\\ x&&-&0&+&+&+&\\ \frac{1-3x}{x}&&-&|&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\\frac{1-3x}{x}<0\ \ si\ \ x\in]-\infty;0[\cup]\dfrac{1}{3};+\infty[\\\\\frac{1-3x}{x}>0\ \ si\ \ x\in]0;\dfrac{1}{3}[\\\\\frac{1-3x}{x}=0\ \ si\ \ x=\dfrac{1}{3}[/tex]

*******************************

Résoudre l'inéquation  [tex]\dfrac{1}{x}\le 3\\\\\dfrac{1}{x}-3\le 0\\\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{3x}{x}\le 0\\\\\dfrac{1-3x}{x}\le 0[/tex]

Selon le signe du quotient étudié précédemment, 

[tex]\dfrac{1-3x}{x}\le 0\Longleftrightarrow x\in]-\infty;0[\cup[\dfrac{1}{3};+\infty[[/tex]

Par conséquent  

[tex]S=]-\infty;0[\cup[\dfrac{1}{3};+\infty[[/tex]