bonjour, pouvez vous m'aider s'il vous plait ​

Réponse :

1) démontrer que f est dérivable en 2 et déterminer f '(2)

f(x) = x/(x+1)   définie sur ]- 1 ; + ∞[

la fonction f est dérivable en a  si et seulement si  lim (f(x) - f(a))/(x-a) = cste

                                                                                    x →a

lim (f(x) - f(2))/(x - 2) = lim ((x/x+1) - 2/3)/(x - 2) = 1/9

x→2                             x →2

déterminer f '(2) ⇒ f '(2) est le nombre dérivé de f en 2

donc f '(2) = lim (f(x) - f(2))/(x -2) = 1/9

                    x→2

2) démontrer que f est dérivable en 3 et déterminer f '(3)

f(x) = √(x+2)  définie [0 ; + ∞[

lim (f(x) - f(3))/(x - 3) = lim ((√(x+2) - √5)/(x - 3) = √5/10

x→3                             x →3  

f '(3) = √5/10

Explications étape par étape

x/(x+1) - 2/3 = [3 x - 2(x+1)]/3(x+1) = (x - 2)/3(x + 1)

(x - 2)/3(x+1)/(x-2) = 1/3(x + 1)

lim 1/3(x+1) = 1/9

x→2

2) (√(x+2) - √5)/(x - 3) = (√(x+2) - √5)(√(x+2) + √5)/(x- 3)(√(x+2) + √5)

  = ((x+2) - 5)/(x- 3)(√(x+2) + √5)

  = (x - 3)/(x - 3)(√(x+2) + √5)

  = 1/(√(x + 2) + √5)

lim (1/(√(x + 2) + √5)) = 1/2√5 = √5/10

x→3